曼彻斯特大学布朗运动课程考试重点梳理

布朗运动课程是英国曼彻斯特大学研究生金融数学专业的核心必修课，介绍了布朗运动的基本事实和观点，特别关注动力学问题。课程旨在提供布朗运动发挥重要作用的进一步研究/应用所必需的基础知识(如金融数学)。这门课的考试成绩占课程总评估的80%，为了帮助同学做好英国研究生金融数学考试复习准备，我们梳理了曼彻斯特大学布朗运动课程考试重点，具体内容如下。

一、曼彻斯特大学布朗运动课程考试知识点汇总

1、热量方程(傅立叶定律)。

2、扩散方程(菲克定律)。

3、爱因斯坦对扩散方程的推导(平稳独立增量)。

4、维纳过程(布朗粒子的位置)。

5、奥恩斯坦-乌伦贝克过程(布朗粒子的速度)。

6、强马尔可夫性(在停止时刻重新开始)。

7、扩散过程(尺度函数、速度测量、无穷小算子)。

8、边界分类(常规、出口、入口、自然)。

9、柯尔莫哥洛夫向前和向后方程。

10、偏微分方程的概率解(椭圆和抛物线)。

11、最优停止，自由边界问题，美式期权问题。

12、最佳随机控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，最佳消费投资问题。

二、曼彻斯特大学布朗运动课程考试可能涉及的内容

1、定义高斯随机向量和过程，计算高斯向量的协方差矩阵和漂移向量，证明高斯随机变量在线性变换下的不变性，应用线性变换证明布朗运动是高斯过程。

2、定义布朗运动并给出布朗运动存在性的证明，陈述并证明布朗运动的不变性，陈述并应用布朗运动的大数定律、迭代对数定律，描述布朗运动的可微性。

3、定义和识别停止时间，定义鞅，陈述和应用杜伯选择定理，证明布朗运动的鞅性质，应用鞅性质证明沃尔德恒等式。

4、定义平稳和非平稳奥恩斯坦-乌伦贝克过程，证明奥恩斯坦-乌伦贝克过程是高斯过程，并计算其协方差函数。

5、定义条件期望，陈述条件期望的基本性质，定义并应用马尔可夫和强马尔可夫性质，定义马尔可夫、强马尔可夫和费勒过程，证明布朗运动和奥恩斯坦-乌伦贝克过程是强马尔可夫过程，陈述并应用查普曼-科尔莫戈罗夫方程。

6、定义扩散过程，定义和计算布朗运动的无穷小生成元，奥恩斯坦-乌伦贝克过程和其他扩散过程，证明向后和向前的柯尔莫哥洛夫方程，推导和应用达因金公式。

7、定义一维正则扩散过程，证明尺度函数和速度测度的存在性，将尺度函数和速度测度与扩散过程的无穷小生成元联系起来。

8、联系某些抛物型和椭圆型偏微分方程和扩散过程，通过求解偏微分方程来寻找扩散过程的某些泛函的期望，计算扩散过程的尺度函数、速度测度和格林函数，并应用它们来寻找一维扩散过程的某些泛函的期望。

9、将扩散过程的最优停止问题与偏微分方程的自由边界问题联系起来，求解几类偏微分方程以寻找最优停止时间和值函数，应用自由边界问题来寻找美式期权的最优停止时间。

以上即为曼彻斯特大学布朗运动课程考试重点梳理。如果同学有不熟悉的内容，可以在考试之前让我们的曼彻斯特大学考试辅导老师来讲解，我们能立即安排英国留学生金融数学考试辅导。