伊利诺伊大学香槟分校本科抽象代数课程学习指南

抽象代数是研究群、环、域、向量空间、模等代数结构的数学领域。事实上，数学内外领域的应用并不是学习抽象代数的唯一原因。首先，学习抽象代数是练习处理复杂概念和发展抽象推理能力的最好方法之一。其次，学习抽象代数为研究数学提供了一个窗口。希望以下伊利诺伊大学香槟分校本科抽象代数课程学习指南能够帮助同学更好地学习这门课。

1、群论

(1)群的同构定理。

(2)关于集合的群作用；共轭类，中心化子，正规化子的应用。

(3)应用于有限p-群的类方程和A5。

(4)加细定理和Jordan-Hölder定理；可解群和幂零群。

(5)Sylow定理及其应用。

2、交换环与模

(1)回顾子环和商环。积分域和积分场。交换环上的多项式环。

(2)欧几里得环，PID，UFD。

(3)对模(交换环上)、子模、商模。

(4)自由模，秩不变性。挠模，PID上挠模的主分解定理。

(5)PID上有限生成模的结构定理。有限生成阿贝尔群和矩阵标准形的应用。

(6)佐恩引理和选择公理(无证明)。极大理想的应用，向量空间的基。

3、场论

(1)素域，素域特征。

(2)代数扩张和超越扩张，扩张次数。代数元素的不可约多项式。

(3)正规扩张和分裂场。扩张的伽罗瓦群。

(4)通过佐恩引理的代数闭包、存在性和唯一性。有限域。

(5)伽罗瓦理论的基本定理。

(6)伽罗瓦扩展的例子。分圆扩域。

(7)如果时间允许，应用伽罗瓦理论来解多项式方程、对称函数等。

上面这些是伊利诺伊大学香槟分校本科抽象代数课程的主要内容，同学可以基于上述内容进行课程预习和复习。如果同学在课程学习过程中遇到问题，我们随时都能安排抽象代数课程辅导。